Το μάθημα των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων μαζί με εκείνο της Διαφορικής Γεωμετρίας είναι τα πρώτα, στα οποία ο φοιτητής καλείται να χρησιμοποιήσει ιδέες και τεχνικές του Απειροστικού Λογισμού πολλών μεταβλητών.
Περιγραφή
Το μάθημα των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων μαζί με εκείνο της Διαφορικής Γεωμετρίας είναι τα πρώτα, στα οποία ο φοιτητής καλείται να χρησιμοποιήσει ιδέες και τεχνικές του Απειροστικού Λογισμού πολλών μεταβλητών.
Αναμφίβολα, ο κύριος σκοπός του βιβλίου μας είναι η εξοικείωση του φοιτητή με τις υπολογιστικές πλευρές των ΜΔΕ μέσω της διδασκαλίας των βασικών τεχνικών. Αυτές συνοψίζονται ως εξής:
– Μέθοδος χαρακτηριστικών (Αναγωγή σε ΣΔΕ)
– Μέθοδος χωρισμού μεταβλητών (Σειρές Fourier)
– Μέθοδος αναπαραστάσεων (Συναρτήσεις Green).
Η προσέγγιση είναι αυστηρή, αλλά ο τρόπος παρουσίασης λεπτομερής και στοιχειώδης από τεχνικής άποψης. Επίσης, έχει καταβληθεί προσπάθεια για την ανάδειξη των σχέσεων με άλλες περιοχές των Μαθηματικών. Φυσικά ο κύριος όγκος του βιβλίου αφορά τη γραμμική θεωρία· παρά ταύτα, μη γραμμικές εξισώσεις μελετώνται σε κάποιο βαθμό ώστε ο αναγνώστης να διαμορφώσει μια ισορροπημένη άποψη.
Τα κεφάλαια του βιβλίου αφορούν:
ΜΔΕ πρώτης τάξης.
Την κυματική εξίσωση στην ευθεία.
Τις σειρές Fourier.
Την εξίσωση της θερμότητας στην ευθεία.
Την αρχή του μεγίστου.
Την εξίσωση του Laplace.
Τις ταυτότητες του Green, τις συναρτήσεις Green και εφαρμογές.
Καταβάλαμε προσπάθεια να κρατήσουμε τα κεφάλαια του βιβλίου στο μεγαλύτερο δυνατό βαθμό ανεξάρτητα μεταξύ τους, για να εξασφαλίσουμε ευχέρεια επιλογής στον διδάσκοντα και ανεξάρτητης μελέτης στον αναγνώστη.
Σημείωμα για την τρίτη έκδοση
Στην παρούσα τρίτη, αναθεωρημένη έκδοση αναμορφώσαμε πλήρως την ενότητα 4.6, που αφορά το πρόβλημα στην ημιευθεία. Εισάγουμε τη μέθοδο του Φωκά (γνωστή και ως ενοποιημένη μέθοδος μετασχηματισμού Fourier), η οποία, αν και πρόσφατη, συμπληρώνει την κλασική θεωρία χρησιμοποιώντας κλασικά και μόνο εργαλεία, όπως διδάσκονται στο προπτυχιακό επίπεδο.
